曲线运动的路程是多少？

在解答任雨田的疑问时，已知质点的运动方程为 r=2ti+(2-t^2)j ，其中 r 的单位是米，t 的单位是秒。

求解质点的运动轨迹、在 t=0 和 t=2s 时质点的位矢、由t=0到t=2s内质点的位移Δr大小和径向增量Δr，以及 由t=0到t=2s内质点所走过的路程s。

在解答第四问时，需要先对位矢方程求导，以得到速度方程。运动轨迹为一条抛物线，各个方向的微分如图1所示，应用勾股定理，可以求出曲线弧的微分。然后，对所有弧微元积分，以得到路程。

解决这个问题，需要掌握一些关键点：

首先，对于无理函数的积分，可以将其转化为有理函数的积分。例如，如果积分式为以下类型：

• 当Δ=b^2-4ac<0时，设 x = p + q√y，两边平方得 x^2 = p^2 + 2pq√y + q^2y，从而有 x^2 - p^2 = 2pq√y + q^2y。
• 如果 Δ=b^2-4ac>0 时，设 x = p + q√y，两边平方得 x^2 = p^2 + 2pq√y + q^2y，从而有 x^2 - p^2 = 2pq√y + q^2y。

这样，就将无理函数的积分转化为有理函数的积分。对于这道题，要求以下无理函数的积分：

可直接查阅积分公式作答，或者用“欧拉代换”求解。因 Δ=b^2-4ac<0 时，需设 x = p + q√y，下面列出详细的计算过程：

• 对于曲线运动的参数方程，若在闭区间 [α，β] 内有连续导数，可求出曲线上各个方向的微分。参看图1，应用勾股定理，曲线弧的微分可表示为 ds = √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt。再对所有的弧微元积分，便得到路程 s = ∫α^β ds。
• 对于曲线运动的一般方程，若在闭区间 [α，β] 内有连续导数，则曲线弧的微分可表示为 ds = √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt。再对所有的弧微元积分，便得到路程 s = ∫α^β ds。
• 对于曲线运动的极坐标方程，若在闭区间 [θ1，θ2] 内有连续导数，可将 θ 看作参数，将极坐标方程化作参数方程。曲线上各个方向的微分可表示为 ds = √((dr/dθ)^2 + (r dθ)^2)。再对所有的弧微元积分，便得到路程 s = ∫θ1^θ2 ds。

综上所述，只要有运动方程，不管是哪种类型的运动方程，通过适当的变换，不但可以求出位移，还可以求出路程，位移和路程两不误。

在物理学这个广阔无边的舞台上，微积分的奥妙变幻，表演得淋漓尽致，令人无不惊叹称奇。